[TIL] DAY 10 - 선형조합(Linear Combination)

텐서 (tensor)

• 스칼라, 벡터, 행렬을 아우르는 개념
• 숫자가 늘어설 수 있는 방향이 $k$개면 $k-$텐서
  • $0-$텐서: 스칼라
  • $1-$텐서: 벡터
  • $2-$텐서: 행렬
• $T$의 각 요소 $\mathrm{p}_{(i, j)}$가 벡터라면, $T$는 $3-$텐서
  $$T=\begin{bmatrix}
  \mathrm{p}_{(1, 1)} & \mathrm{p}_{(1, 2)} & \mathrm{p}_{(1, 3)} & \mathrm{p}_{(1, 4)} \\
  \mathrm{p}_{(2, 1)} & \mathrm{p}_{(2, 2)} & \mathrm{p}_{(2, 3)} & \mathrm{p}_{(2, 4)} \\
  \mathrm{p}_{(3, 1)} & \mathrm{p}_{(3, 2)} & \mathrm{p}_{(3, 3)} & \mathrm{p}_{(3, 4)} \\
  \mathrm{p}_{(4, 1)} & \mathrm{p}_{(4, 2)} & \mathrm{p}_{(4, 3)} & \mathrm{p}_{(4, 4)}
  \end{bmatrix}$$
• $3-$텐서의 대표적인 예: 컬러 영상
  • $3-$벡터이면 RGB 영상, $4-$벡터이면 RGBA 영상

 

선형조합 (linear combination)

• $A\mathrm{x}$는 행렬 $A$가 가지고 있는 열벡터의 선형조합
  • 선형대수에서는 벡터들에 대한 가중치의 합을 선형조합이라고 부름
    $$A\mathrm{x}=\begin{bmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
    \vdots & \vdots & \quad & \vdots \\
    \vdots & \vdots & \quad & \vdots \\
    a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
    \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
    x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}
    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
    \mathrm{a}_{1} & \mathrm{a}_{2} & \cdots & \mathrm{a}_{n}
    \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
    x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots x_{n}
    \end{bmatrix} = x_{1} \mathrm{a}_{1} + x_{2} \mathrm{a}_{2} + \cdots + x_{n} \mathrm{a}_{n} $$
• $A\mathrm{x}$의 결과는 행렬 $A$가 가지고 있는 열벡터의 선형조합
  • 선형시스템 $A\mathrm{x}=\mathrm{b}$를 선형조합 관점에서 보면,
    • 행렬 $A$의 열벡터를 가중치 합으로 선형조합할 때 벡터 $\mathrm{b}$를 만들 수 있는 가중치 조합이 존재한다면,
    • 선형시스템 $A\mathrm{x}=\mathrm{b}$의 해 존재
    • 그 해는 가중치 $x_{i}$들로 구성된 $\mathrm{x}$

 

열공간 (Column Space)

• 행렬 $A$의 열벡터들에 대한 가능한 모든 선형조합의 결과를 모아 집합으로 구성
• Consistent Linear System
  • 선형시스템 $A\mathrm{x}=b$가 해를 가지면(consistent), 다음을 만족한다.
    $$\mathrm{b} \in \mathrm{col}(A)$$
• Inconsistent Linear System
  • 선형시스템 $A\mathrm{x}=\mathrm{b}$가 해가 없으면(inconsistent), 다음을 만족한다.
    $$\mathrm{b} \notin \mathrm{col}(A)$$

 

출처: 프로그래머스 스쿨 4강: 행렬연산과 선형조합